（I）由x²=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，

又∵e=

3

2

，∴

c2

a2

=

3

4

，∵a2=b2+c2，∴a²=4，

∴

a2+b2

=

5

，

∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，圆O的方程为x²+y²=5．

（Ⅱ）∵过点P（0，

5

）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，

∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+

5

，k＜0

由

y=kx+ 5 x2 4 +y2=1

，得x2+4(kx+

5

)2=4，

即（1+4k²）x²+8

5

kx+16=0，

则△=(8

5

k)2-64(1+4k2)=0，

∴k²=1，又k＜0，k=-1，

∴直线l方程为y=-x+

5

，

圆心O到直线l方程为y=-x+

5

，

圆心O到直线l的距离d=

5

2

=

10

2

，

∴直线l被圆O截得的弦长为2

5-( 10 2 )2

=

10

．

 （Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），

则过这四点分别作满足条件的直线l₁，l₂，

若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l₁⊥l₂

若直线l₁，l₂斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），

由

y=kx+(y0-kx0) x2 4 +y2=1

，得x²+4[kx+（y₀-kx₀）]²=4，

即（1+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）•x+4（y₀-kx₀）2-4=0，

则△=[8k（y₀-kx₀）]2-4（1+4k²）[4（y₀-kx₀）²-4]=0，

化简得（4-x02）k²+2x₀y₀k+1-y02=0，

∵x02+y02=5，

∴（4-x02）k²+2x₀yk+x02-4=0，

设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，

所以k₁，k₂满足（4-x02）k²+2x₀yk+x02-4=0，

∴k₁•k₂=

x02-4

4-x02

=-1，

∴l₁⊥l₂．