问题
解答题
已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,求实数a的值;
(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值.
答案
(1)求导函数,可得f′(x)=1-a x
∴f′(1)=1-a
∵曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,
∴1-a=3
∴a=-2;
(2)f′(x)=1-
=a x
(x>0)x-a x
当a≤0时,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,而f(1)=0
∴x∈(0,1)时,f(x)<0与f(x)≥0恒成立矛盾
∴a≤0不合题意
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增
∴f(x)≥f(a)=a-1-alna=0
∴a=1.