问题 解答题

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R).

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,求实数a的值;

(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值.

答案

(1)求导函数,可得f′(x)=1-

a
x

∴f′(1)=1-a

∵曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,

∴1-a=3

∴a=-2;

(2)f′(x)=1-

a
x
=
x-a
x
(x>0)

当a≤0时,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,而f(1)=0

∴x∈(0,1)时,f(x)<0与f(x)≥0恒成立矛盾

∴a≤0不合题意

当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增

∴f(x)≥f(a)=a-1-alna=0

∴a=1.

单项选择题
配伍题