（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）

∴所求的切线方程为y=x-1．…（4分）

（Ⅱ） 当a=0时，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）

∴由

f′(x)＞0 1 2 ≤x≤3

⇔

lnx＞0 1 2 ≤x≤3

⇔1＜x≤3，

f′(x)＜0 1 2 ≤x≤3

⇔

1

2

≤x＜1，…（6分）

故可列表：

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，3）	3
y′		-	0	+
y	- 1 2 ln2- 1 2	↘	-1	↗	3ln3-3

∵-

1

2

ln2-

1

2

＜0＜3ln3-3…（9分）

∴关于x的方程f（x）=m在区间[

1

2

，3]内有两个不相等的实数根时-1＜m≤-

1

2

ln2-

1

2

；     …（10分）

（Ⅲ） f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e^-a．…（11分）

①当e-a＜

1

e

，即a＞1时，f'（x）＞0，f（x）在[

1

e

  ，e]上为增函数，

f(x)min=f(

1

e

)=

a-2

e

；        …（12分）

②当

1

e

≤e-a≤e，即-1≤a≤1时，在[

1

e

，e-a]上f'（x）＜0，f（x）为减函数，

在[e^-a，e]上f'（x）＞0，f（x）为增函数，f(x)min=f(e-a)=-e-a；          …（13分）

③当e^-a＞e，即a＜-1时，f'（x）＜0，f（x）在[

1

e

，e]上为减函数，f（x）_min=f（e）=ea．

综上所述，f(x)min=

a-2 e ，   a＞1 -e-a， -1≤a≤1 ea ，  a＜-1

．…（14分）