①若|x-2|-1=a，

当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；

当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；

②若|x-2|-1=-a，

当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；

当x＜2时，2-x-1=-a，解得：x=a+1，a＜1；

又∵方程有三个整数解，

∴可得：a=-1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．

即a只能取1．

故选B．