（Ⅰ）因为 f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]…（2分）

令f'（x）=0，得x₁=（a+1），x₂=a

所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

…（4分）

因为f（x）在x=1处取得极大值，所以a=1…（5分）

（II）求导数可得f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

…（6分）

因为∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≠k对x∈R成立…（7分）

所以只要f'（x）的最小值大于k，所以k＜-

1

4

…（8分）

（III）因为a＞-1，所以a+1＞0，

当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，所以当x=1时，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

…（9分）

当0＜a＜1时，在x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=a时，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2…（10分）

当a=0时，在x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0…（11分）

当-1＜a＜0时，在x∈（0，a+1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（a+1，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，又f(0)=0，f(1)=a2-

1

6

，

当-1＜a＜-

6

6

时，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

当-

6

6

＜a＜0时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0

当a=-

6

6

时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0．…（14分）

综上所述，当a≥1或-1＜a＜-

6

6

时，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；当0＜a＜1时，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；当a=-

6

6

时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0；当-

6

6

＜a≤0时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．