（I）∵函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，

∴f（-x）=-f（x），

∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），

∴c=0．                                       （2分）

又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，

由f'（x）=3ax²+b，

∴f'（1）=3，且f（1）=5，

∴

3a+b=3 a+b=5

得

a=-1 b=6

．                        （5分）

∴f（x）=-x³+6x…6分

（II）f（x）=-x³+6x，

依题意 -x3+6x≤

m

x

对任意x∈（0，1]恒成立，

∴-x⁴+6x²≤m对任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）

即  m≥-（x²-3）²+9对任意x∈（0，1]恒成立，

∴m≥5．                                         （9分）

即m的取值范同是（5，+∞）．…12分．