问题
解答题
已知平面内一动点 P到定点F(0，
（1）求动点 P的轨迹C的方程； （2）当点 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，以 M P为直径作圆，求该圆截直线y=
（3）当点 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，过点 P作x轴的垂线交x轴于点 A，过点 P作（1）中的轨迹C的切线l交x轴于点 B，问：是否总有 P B平分∠A PF？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例． |
答案
（1）根据题意，动点 P是以F(0，
)为焦点以y=-1 2
为准线的抛物线，1 2
所以p=1开口向上，
所以动点 P的轨迹C的方程为x2=2y
（2）以 M P为直径的圆的圆心（
，x0 2
），|MP|=y0+1
=x02+(y0-1)2
=2y0+(y0-1)2 y02+1
所以圆的半径r=1 2
，圆心到直线y=y02+1
的距离d=|1 2
-y0+1 2
|=|1 2
y0|，1 2
故截得的弦长l=2
=2r2-d2
=1
y02+1 4
-1 4
y021 4
（3）总有 P B平分∠A PF．
证明：因为y=x2 2
所以，y′=x，kl|x=x0=x0．
所以切线l的方程为y=x0x-
，x02 2
令y=0得x=
，x0 2
所以B（
，0）x0 2
所以B到PA的距离为d1=|x0-
|=x0 2 |x0| 2
下面求直线PF的方程，
因为F(0，
)1 2
所以直线PF的方程为y-
=1 2
(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0
-x02 2 1 2 x0
所以点B到直线PF的距离d2=
=|(x02-1)
+x0|x0 2 (x02-1)2+(2x0)2
=d1|x0| 2
所以 PB平分∠APF．