已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过

问题解答题

已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且

•

=0，|

|=|

|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若

•

=-4且4

≤|AB|≤4

，求直线l的斜率k的取值范围．

答案

（1）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，

）（x＞0），

∵PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即

•

-1

=-1，

∴y²=4x（x＞0）即为所求．

（2）设直线l方程为y=kx+b，l与抛物线交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

则由

•

=-4，得x₁x₂+y₁y₂=-4，即

y12•y22

+y₁y₂=-4，∴y₁y₂=-8，

由

y2=4x

y=kx+b

可得ky²-4y+4b=0（其中k≠0），∴y₁y₂=

=-8，b=-2k，

当△=16-16kb=16（1+2k²）＞0时，|AB|²=（1+

）(y2-y1)2=

1+k2

•[(y2+y1)2-4y₁•y₂]=

1+k2

（

+32）．

由题意，得16×6≤

1+k2

•≤16×30，解得

≤k2≤1，

∴

≤k≤1，或-1≤k≤-

．

即所求k的取值范围是[-1，-

]∪[

1]．