问题
解答题
设函数f（x）=-x（x-a）2
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，且方程f（x）+a=0有三个不同的实数解，求a的取值范围．
答案
（1）当a=1时f（x）=-x3+2x2-x，
所以f′（x）=-3x2+4x-1
当x=2时y=-2，所以切点为（2，-2）
所以切线的斜率k=f′（2）=-5．
所以切线方程为5x+y-8=0．
（2）设g（x）=f（x）+a=-x3+2ax2-a2x+a
所以g′（x）=-3x2+4ax-a2=-（x-a）（3x-a）
令g′（x）＜0得
因为a＞0所以x＞a或x＜a 3
所以g（x）在（-∞，
），（a，+∞）是单调减函数，在（a 3
，a）上是单调增函数．a 3
因为方程g（x）=0有三个不同的实数解，
所以只需g（
）＜0且g（a）＞0即可．a 3
解得a＞ 3 3 2
所以a的取值范围为（
，+∞）．3 3 2