（Ⅰ）因为函数f（x）=axlnx，

所以定义域为（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．…..（2分）

因为在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行，

所以f'（e）=4，即a（lne+1）=4．…..（4分）

所以a=2．

所以f（x）=2xlnx．…..（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=2（lnx+1），

令f'（x）=0，得x=

1

e

．

当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，

所以函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递减；

当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，

所以函数f(x)在(

1

e

，+∞)上单调递增．

所以①若

1

e

∈(m，m+2)时，函数f（x）的最小值是f(

1

e

)=-

2

e

；

若

1

e

≤m＜m+2时，函数f（x）在[m，m+2]上单调递增，

所以函数f（x）的最小值是f（m）=2mlnm．…..（13分）