A、物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，加速度的方向和合力的方向是一样的，所以加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上，故A正确．

B、速度变化的运动也可以是匀变速直线运动，不一定就是曲线运动，故B错误．

C、物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，但合外力的大小不一定要变化，如平抛运动，所以C错误．

D、加速度变化，但受力的方向可以和速度在同一条直线上，可以做直线运动，也就是变加速直线运动，所以D错误．

故选：A．