问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的单调区间; (2)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值; (3)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[l,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数) |
答案
(1)f′(x)=
,(x≠0),因为a>0,所以由f'(x)>0,得0<x<2,此时函数单调递增.a(2-x) x3
由f'(x)<0,得x>2或x<0,此时函数单调递减.
所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间为(0,2).
(2)设切点坐标为(x0,y0,则
,解得x0=1,a=1.y0= a(x0-1) x0 x0-y0-1=0
=1a(2-x0) x03
(3)g(x)=xlnx-x2f(x)=xlnx-a(x-1),
则g'(x)=lnx+1-a,由g'(x)=lnx+1-a=0,解得x=ea-1.
所以在区间(0,ea-1)上,函数单调递减,在(ea-1.,+∞)上,函数单调递增.
①当ea-1.≤1,即0<a≤1时,在区间[l,e]上g(x)单调递增,所以g(x)的最小值为g(1)=0.
②当ea-1.≥e,即a≥2时,在区间[l,e]上g(x)单调递减,所以g(x)的最小值为g(e)=e+a-ae.
③当1<ea-1.<e,即1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1.)=(a-1)ea-1.-a(ea-1.-1)=a-ea-1..
综上当0<a≤1时,g(x)的最小值为g(1)=0.
当1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1.),
当≥2时,g(x)的最小值为g(e)=e+a-ae.