问题 解答题
已知函数f(x)=
a(x-1)
x2
,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(3)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[l,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)
答案

(1)f′(x)=

a(2-x)
x3
,(x≠0),因为a>0,所以由f'(x)>0,得0<x<2,此时函数单调递增.

由f'(x)<0,得x>2或x<0,此时函数单调递减.

所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间为(0,2).

(2)设切点坐标为(x0,y0,则

y0=
a(x0-1)
x0
x0-y0-1=0
a(2-x0)
x03
=1
,解得x0=1,a=1.

(3)g(x)=xlnx-x2f(x)=xlnx-a(x-1),

则g'(x)=lnx+1-a,由g'(x)=lnx+1-a=0,解得x=ea-1

所以在区间(0,ea-1)上,函数单调递减,在(ea-1.,+∞)上,函数单调递增.

①当ea-1.≤1,即0<a≤1时,在区间[l,e]上g(x)单调递增,所以g(x)的最小值为g(1)=0.

②当ea-1.≥e,即a≥2时,在区间[l,e]上g(x)单调递减,所以g(x)的最小值为g(e)=e+a-ae.

③当1<ea-1.<e,即1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1.)=(a-1)ea-1.-a(ea-1.-1)=a-ea-1..

综上当0<a≤1时,g(x)的最小值为g(1)=0.

当1<a<2时,g(x)的最小值为g(ea-1.),

当≥2时,g(x)的最小值为g(e)=e+a-ae.

单项选择题
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