A、做曲线运动的物体，速度方向为曲线上点的切线方向，时刻改变，故一定是变速运动，故A正确；

B、匀变速直线运动的速度时刻改变，是直线运动，故B错误；

C、平抛运动只受重力，加速度恒为g，故C错误；

D、曲线运动的条件是合力与速度方向不共线，但合力大小可以变化，故加速度的大小也可以变化，故加速度变化的运动不一定是曲线运动，故D错误；

故选A．