已知a∈R，函数m（x）=x2，n（x）=aln（x+2）．（Ⅰ）令f（x）=m

问题解答题

已知a∈R，函数m（x）=x²，n（x）=aln（x+2）．
（Ⅰ）令f（x）=

m(x)，x≤0

n(x)，x＞0

，若函数f（x）的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求a的取值集合；
（Ⅱ）若函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x₁、x₂，求g（x₁）+g（x₂）的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意，不妨设A（t，aln（t+2）），B（-t，t²）（t＞0）

∴OA⊥OB，

∴-t²+at²ln（t+2）=0，

∴a=

ln(t+2)

，

∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），

∴a的取值集合为（0，

ln2

）；

（Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x²+aln（x+2），

∴g′（x）=

2x2+4x+a

x+2

，

∵函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x₁、x₂，

∴g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在两个不等的实根，

令p（x）=2x²+4x+a，

∴△=16-8a＞0且p（-2）＞0，

∴0＜a＜2，

∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=

，

∴g（x₁）+g（x₂）=x₁²+aln（x₁+2）+x₂²+aln（x₂+2）

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+aln[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]

=aln

-a+4

令q（x）=xln

-x+4，x∈（0，2），

∴q′（x）=ln

＜0，

∴q（x）在（0，2）上单调递减，

∴2＜aln

-a+4＜4

∴g（x₁）+g（x₂）的取值范围是（2，4）．