（1）∵f′(x)=

1

x

+2ax+b(x＞0)，∴f′（1）=1+2a+b，

其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．

由切线与圆x²+y²=1相切可得

|1+a|

(1+2a+b)2+1

=1

化为3a²+（2+4b）a+b²+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）²-12（b²+2b+1）≥0，解得b≥1+

3

或b≤1-

3

．

（2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴f′(x)=

1

x

-(1+b)x+b=

-[(1+b)x+1](x-1)

x

（x＞0）．

①b=-1时，f′(x)=

-(x-1)

x

，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．

②当-2＜b＜-1时，

-1

1+b

＞1，由f′（x）＞0解得1＜x＜

-1

1+b

，函数f（x）单调递增；

由f′（x）＜0，解得x＞

-1

1+b

或0＜x＜1，函数f（x）单调递减．

③当b＜-2时，0＜

-1

1+b

＜1，由f′（x）＞0解得

-1

1+b

＜x＜1，函数f（x）单调递增；

由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜-

1

1+b

，函数f（x）单调递减．

④当b＞-1时，

-1

1+b

＜0，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；

由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．

（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．

∴f（x）＜f（1），即lnx-x²+x＜0，令x=1+

1

n

，可得ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．

∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]+ln1＜

n+1

n2

+

n

(n-1)2

+…+

2

1

+0，

即2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．