问题
解答题
设函数f(x)=-
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值； （Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤g（x）≤a成立，试确定实数a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，（7分）
g（x）=x2+4ax-3a2=-（x-3a）（x-a）
①当0＜a＜
时，1-a＞2a，∴g（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减1 3
∴[g(x)]max=g(1-a)=-8a2+6a-1，且[g（x）]min=g（1+a）=2a-1
∵恒有-a≤g（x）≤a成立
∵
又0＜a＜-8a2+6a-1≤a 2a-1≥-a
，此时，a∈∅…（10分）1 3
②当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即
＜a＜1，[g（x）]max=g（2a）=a2．1 3
∵-a≤g（x）≤a，∴
，即f′(1+a)≥-a f′(1-a)≥-a f′(2a)≤a 2a-1≥-a -8a2+6a-1≥-a a2≤a
∴0≤a≤1 a≥ 1 3
≤a≤7- 17 16 7+ 17 16
∴
≤a≤1 3
．（12分）7+ 17 16
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为
≤a≤1 3
．（14分）7+ 17 16