问题
解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数f(x)的极值.
答案
由题意得,f′(x)=3x2+2ax+b,
∵在x=2处有极值,∴f′(2)=12+4a+b=0 ①,
∵在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,
∴f′(1)=3+2a+b=-3 ②,
由①②解得,a=-3,b=0,∴f(x)=x3-3x2,
由f′(x)=3x2-6x=0得,x=0或2,
当x<0或x>2时,f′(x)>0,
当0<x<2时,f′(x)<0,
即函数的增区间是(-∞,0),(2,+∞),减区间是(0,2),
当x=0时,函数f(x)取极大值为0,
当x=2时,函数f(x)取极小值为f(2)=-4.