问题 解答题

已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数f(x)的极值.

答案

由题意得,f′(x)=3x2+2ax+b,

∵在x=2处有极值,∴f′(2)=12+4a+b=0      ①,

∵在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,

∴f′(1)=3+2a+b=-3                      ②,

由①②解得,a=-3,b=0,∴f(x)=x3-3x2

由f′(x)=3x2-6x=0得,x=0或2,

当x<0或x>2时,f′(x)>0,

当0<x<2时,f′(x)<0,

即函数的增区间是(-∞,0),(2,+∞),减区间是(0,2),

当x=0时,函数f(x)取极大值为0,

当x=2时,函数f(x)取极小值为f(2)=-4.

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