根据抽屉原理，我们可以得到至少有两人原来的岁数是平方数，15年后仍然是平方数，所以这两个平方数相差15，而15=1×15=3×5，所以这两个数分别为（15+1）÷2=8的平方64和（5+3）÷2=4的平方16；又根据年龄各不相同，4人年龄的和是129岁，所以另两人的年龄和为129-64-16=49，由于另两人中有一人的岁数是完全平方数，且有一人15年前的岁数是完全平方数，而在这里只能是1，2，3，5中的一个的平方，并且由于1，2，3的平方都小于15，所以只能是5的平方25，49-25=24，虽然25-15=10不是完全平方数，但是24-15=9是完全平方数，所以另两人分别为25岁和24岁．

故：这家四口人为64，25，24，16岁．