（Ⅰ）∵a=4，

∴f(x)=

lnx+4

x

且f(e)=

5

e

．（1分）

又∵f′(x)=

(lnx+4)′x-(lnx+4)x′

x2

=

-3-lnx

x2

，

∴f′(e)=

-3-lne

e2

=-

4

e2

．（3分）

∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y-

5

e

=-

4

e2

(x-e)，

即4x+e²y-9e=0．（4分）

（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1-(lnx+a)

x2

，（5分）

令f'（x）=0得x=e^1-a．

当x∈（0，e^1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；

当x∈（e^1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）

∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，即f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1．（8分）

（Ⅲ）（i）当e^1-a＜e²，即a＞-1时，

由（Ⅱ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²]上是减函数，

∴当x=e^1-a时，f（x）取得最大值，即f（x）_max=e^a-1．

又当x=e^-a时，f（x）=0，当x∈（0，e^-a]时，f（x）＜0，

当x∈（e^-a，e²]时，f（x）∈（0，e^a-1]，

所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e²]上有公共点，

等价于e^a-1≥1，解得a≥1，

又因为a＞-1，所以a≥1．（11分）

（ii）当e^1-a≥e²，即a≤-1时，f（x）在（0，e²]上是增函数，

∴f（x）在（0，e²]上的最大值为f(e2)=

2+a

e2

，

∴原问题等价于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2，

又∵a≤-1∴无解

综上，a的取值范围是a≥1．（14分）