问题
解答题
已知函数 f(x)=6lnx(x>0)和 g(x)=ax2+8x(a为常数)的图象在x=3 处有平行切线.
(1)求 a 的值;
(2)求函数F(x)=f(x)-g(x)的极大值和极小值.
答案
(1)f′(x)=
,g′(x)=2ax+8,------------------(2分)6 x
根据题意,得f′(3)=g′(3)
解得a=-1----------------------------------------------(4分)
(2)F(x)=f(x)-g(x)=6lnx+x2-8x-------------------(5分)
令F′(x)=
+2x-8,----------------------------------(5分)6 x
得 x=1,3------------------------------------------------(7分)
∵0<x<1时,F′(x)>0,F(x)单调递增;--------------(8分)
1<x<3时,F′(x)<0,F(x)单调递减;------------------(9分)
x>3时,F′(x)>0,F(x)单调递增.----------------------(10分)
∴F(x) 的极大值为F(1)═-7,-------------------------(11分)
F(x) 的极小值为F(3)=-15+6ln 3-----------------------(12分)