问题 解答题

已知函数 f(x)=6lnx(x>0)和 g(x)=ax2+8x(a为常数)的图象在x=3 处有平行切线.

(1)求 a 的值;

(2)求函数F(x)=f(x)-g(x)的极大值和极小值.

答案

(1)f′(x)=

6
x
,g′(x)=2ax+8,------------------(2分)

根据题意,得f′(3)=g′(3)

解得a=-1----------------------------------------------(4分)

(2)F(x)=f(x)-g(x)=6lnx+x2-8x-------------------(5分)

令F′(x)=

6
x
+2x-8,----------------------------------(5分)

得 x=1,3------------------------------------------------(7分)

∵0<x<1时,F′(x)>0,F(x)单调递增;--------------(8分)

1<x<3时,F′(x)<0,F(x)单调递减;------------------(9分)

x>3时,F′(x)>0,F(x)单调递增.----------------------(10分)

∴F(x) 的极大值为F(1)═-7,-------------------------(11分)

F(x) 的极小值为F(3)=-15+6ln 3-----------------------(12分)

单项选择题 A1/A2型题
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