问题
解答题
| 已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0． （Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值； （Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若a≥
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答案
（Ⅰ）设f（x）与g（x）交于点P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），
即x02+4ax0+1=6a2lnx0+2b+1（1）
又由题意知f'（x0）=g'（x0），即2x0+4a=
（2）（2分）6a2 x0
由（2）解得x0=a或x0=-3a（舍去）
将x0=a代入（1）整理得b=
a2-3a2lna（4分）5 2
令h(a)=
a2-3a2lna，则h'（a）=2a（1-3lna）a∈(0，5 2
)时，3 e
h（a）递增，a∈(
，+∞)时h（a）递减，所以h（a）≤h(3 e
)=3 e
e3 2 2 3
即b≤
e3 2
，b的最大值为2 3
e3 2
（6分）2 3
（Ⅱ）不妨设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，
＞8，h(x2)-h(x1) x2-x1
变形得h（x2）-8x2＞h（x1）-8x1
令T（x）=h（x）-8x，T′(x)=2x+
+4a-8，6a2 x
∵a≥
-1，3
∴T′(x)=2x+
+4a-8≥46a2 x
a+4a-8≥4(3
+1)(3
-1)-8≥0，3
T（x）在（0，+∞）内单调增，T（x2）＞T（x1），同理可证x1＞x2命题成立（12分）