问题
解答题
已知函数f（x）=x+
（1）当a=-2时，求出所有切线l的方程． （2）探求在a≠0的情况下，切线l的条数． （3）如果切线l有两条，切点分别为M1（x1，x2），M2（x2，y2），求g（a）=|M1M2|的解析式． |
答案
（1）．当a=-2时，f（x）=x+
，所以P不在f（x）的图象上，设切点为M0（x0，y0）2 x
∵f′（x）=1+
，∴f′（x0）=1+2 x2
=k PM 0=2 x 02
，y0-0 x0-1
又y0=x0+
，代入整理得：x02-4x0+2=0，即x0=2±2 x0
，2
∴f′（x0）=1+
=1+2 x 02 1 3±2 2
∴切线l的方程：y=（1+
）（x-1）1 3±2 2
（2）．f′（x）=1-a x2
只有当a=-1时，点P在f（x）的图象上，
∴只有当a=-1时，P可以是切点且l的方程：y=2x-2．
当P是不是切点时，设切点为M0（x0，y0），x0≠0，
∵f′（x）=1-
，∴f′（x0）=1-a x2
=k PM 0=a x2
，y0-0 x0-1
又y0=x0+
，代入整理得：x02+2ax0-a=0，，┉①a x0
△=4a2+4a，经检验，x0=1不满足方程．
当a＞0或a＜-1时，△＞0，切点有两个；
当-1＜a＜0时，△＜0，没有切点；
综上所述：
当-1＜a＜0时，没有切线l存在；
当a=-1时，只有一条切线l；
当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在
（3）由（2）问可知，当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在．
由①式可知：x1，x2满足方程x2+2ax-a=0，
即x1+x2=-2a，x1x2=-a
∵y1=x1+
，y2=x2+a x1 a x2
∴g（a）=\M1M2\=
=(x1-x2) 2+(y1-y2) 2 (x1-x2)2[1+(1-
)2]a x1x2
=
=5(x1-x2)2
=25[(x1+x2)2-4x1x2] 5(a2+a)
∴g（a）=2
，a＞0或a＜-15(a2+a)