问题
解答题
| 设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=kan+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）． （1）试写出用n，k表示的an的表达式； （2）若
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答案
（1）∵Sn=kan+1，
∴an+1=Sn+1-Sn=（kan+1+1）-（kan+1），
∴an+1=kan+1-kan，即 （k-1）an+1=kan，
∵k≠1解得an+1=
an(1)k k-1
若k≠0，则由题设知a1≠0，由（1）式易知an≠0，n≥1，
∴
=an+1 an
故该数列是公比为k k-1
的等比数列，k k-1
其首项为a1=S1=ka1+1，a1=1 1-k
∴an=
(1 1-k
)n-1=-k k-1
.kn-1 (k-1)n
当k=0时，由（1）式知an=0，上式当n≥1时对k=0也成立．
（2）若
Sn=1，即lim n→∞
(kan+1)=1，lim n→∞
kan=lim n→∞
(Sn-1)=0，即lim n→∞
k•lim n→∞
=0，-kn-1 (k-1)n
∴
(lim n→∞
)n=0，∴|k k-1
|＜1，解得k＜k k-1
.1 2
∴k的范围：k＜1 2