（1）∵函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-(2b2+1)ax，(a＞0)

∴f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a（2分）

依题意x₁=-2，x₂=1是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根

则-

b

a

=-1，-

(2b2+1)a

a

=-2

解之可得：a=b=

2

2

（4分）

（2）由（1）f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a＞0得x＞x₁或x＜x₂

∴f（x）在（x₁，x₂）上单调递减

∴x₁≤x≤x₂时，f（x）≥f（x₂）=f（a）（5分）

由题f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1（6分）

若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立⇔6f（a）+11a²≥0（7分）

⇔2a⁴+3ba²-6（2b²+1）a²+11a²≥0⇔2a²+3b-12b²+5≥0⇔2（2b²-b+1）+3b-12b²+5≥0⇔8b²-b-7≤0⇔-

7

8

≤b≤1

故实数b的取值范围为[-

7

8

，1]（9分）

（3）依题意x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根，则x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

(2b2+1)a

a

而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂

∴(-

b

a

)2+2

(2b2+1)a

a

=6+4b2∴b²=4a²（10分）

又a＞0，b＞0，

∴b=2a而f'（n）=an²+bn-（2b²+1）a=an²+2an-（8a³+a）

∴an=

4a

f′(n)+2a(b2+1)

=

4a

an2+2an-(8a3+a)+8a3+2a

=

4

n2+2n+1

（11分）

Tn= 4 22 + 4 32 + 4 42 ++ 4 (n-1)2 + 4 n2 + 4 (n+1)2 ＜4[ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 ++ 1 (n-2)(n-1) + 1 (n-1)n + 1 n(n+1) ] =4[(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )++( 1 n-2 - 1 n-1 )+( 1 n-1 - 1 n )+( 1 n - 1 n+1 )] =4(1- 1 n+1 )＜4(14分)