问题
解答题
已知曲线y=x3-6x2+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．
答案
已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y'=3x2-12x+11
在曲线上任取一点P（x0，y0），则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x02-12x0+11
点P处切线方程是y=（3x02-12x0+11）（x-x0）+y0
设这切线与y轴的截距为r，则
r=（3x02-12x0+11）（-x0）+（x03-6x02+11x0-6）=-2x03+6x02-6
根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值
因为r'=-6x02+12x0=-6x0（x0-2）
当0＜x0＜2时r'＞0，因此r是增函数，
故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值，即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r最小值=-6