（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=a-

b

x2

，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2    …3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，

令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）

则g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，

若1＜x＜

2-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．

②a≥1时，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．

综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）     …8分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．

取a=1得x-

1

x

≥2lnx，令x=

2n+1

2n-1

＞1得

2n+1

2n-1

-

2n-1

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

，

即

2

2n-1

-

2

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

所以

1

2n-1

＞

1

2

ln

2n+1

2n-1

+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)

上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

ln(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）…13分．