问题 解答题
设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-
1
(1+b)n
,其中b是与n无关的常数,且b≠-1.
(1)求an和an-1的关系式;
(2)写出用n和b表示an的表达式;
(3)当0<b<1时,求极限
lim
n→∞
Sn
答案

(1)an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-

1
(1+b)n
+
1
(1+b)n-1

=-b(an-an-1)+

b
(1+b)n
(n≥2)

解得an=

b
1+b
an-1+
b
(1+b)n+1
(n≥2)(1)

(2)∵a1=S1=-ba1+1-

1
1+b
,∴a1=
b
(1+b)2
.(2)

由(1)得

an=

b
1+b
[
b
1+b
an-2+
b
(1+b)n
]+
b
(1+b)n+1

=(

b
1+b
)2an-2+
b+b2
(1+b)n+1

=(

b
1+b
)2[
b
1+b
an-3+
b
(1+b)n-1
]+
b+b2
(1+b)n+1

=(

b
1+b
)3an-3+
b+b2+b3
(1+b)n+1

由此推得an=(

b
1+b
)n-1a1+
b+b2++bn-1
(1+b)n+1
(3)

将(2)代入(3)得an=

b+b2++bn
(1+b)n+1

an=

b-bn+1
(1-b)(1+b)n+1
,b≠1
n
2n+1
,b=1

(3)Sn=

(-b)(b-bn+1)
1-b
•(
1
1+b
)n+1+1-(
1
1+b
)n,(b≠1)

0<b<1时,

lim
n→∞
bn=0,
lim
n→∞
(
1
1+b
)n=0

∴当0<b<1时,

lim
n→∞
Sn=1.

单项选择题
阅读理解与欣赏

阅读下面的文言文,完成问题。

  羊续,字兴祖,太山平阳人也。续以忠臣子孙拜郎中,去官后,辟大 * * 窦武府。及武败,坐党事,禁锢十余年,幽居守静。及党禁解,复辟太尉府,四迁为庐江太守。后扬州黄巾贼攻舒,焚烧城郭,续发县中男子二十以上,皆持兵勒陈,其小弱者,悉使负水灌火,会集数万人,并执力战,大破之,郡界平。后安风贼戴风等作乱,续复击破之,斩首三千余级,生获渠帅,其余党辈原为平民,赋与佃器,使就农业。中平三年,江夏兵赵慈反叛,杀南阳太守秦颉,攻没六县,拜续为南阳太守。当入郡界,乃羸服间行,侍童子一人,观历县邑,采问风谣,然后乃进。其令长贪洁,吏民良猾,悉逆知其状,郡内惊竦,莫不震慑。乃发兵与荆州刺史王敏共击慈,斩之,获首五千余级,属县余贼并诣续降,续为上言,宥其枝附。

  贼既清平,乃班宣政令,候民病利,百姓欢服。时,权豪之家多尚奢丽,续深疾之,常敝衣薄食,车马羸败。府丞尝献其生鱼,续受而悬于庭;丞后又进之,续乃出前所悬者以杜其意。续妻后与子秘俱往郡舍,续闭门不内,妻自将秘行,其资藏惟有布衾、敝袛裯,盐、麦数斛而已,顾敕秘曰:“吾自奉若此,何以资尔母乎?”使与母俱归。

 六年,灵帝欲以续为太尉。时拜三公者,皆输东园礼钱千万,令中使督之,名为“左驺”。其所之往,辄迎致礼敬,厚加赠赂。续乃坐使人于单席,举缊袍以示之,曰:“臣之所资,惟斯而已。”左驺白之,帝不悦,以此故不登公位。而征为太常,未及行,会病卒,时年四十八。遗言薄敛,不受赗遗。旧典,二千石卒官赙百万,府丞焦俭遵续先意,一无所受。诏书褒美,敕太山太守以府赙钱赐续家云。(《后汉书·羊续传》)

  注释:①赗:fèng,送车马等给人办丧事。②赙:fù,送布帛财物助人办丧事。

1.对下列句子中加粗的词的解释,不正确的一项是( )

A.大 * * 窦武府/辟:征召

B.属县余贼并续降/诣:到……去

C.续乃出前所悬者以其意/杜:杜绝

D.顾秘曰/敕:皇帝发布诏令

2.以下各组句子中,分别表明羊续“宽宏大度”和“为政廉洁”的一项是( )

A.续为上言,宥其枝附/常敝衣薄食,车马羸败

B.赋与佃器,使就农业/续乃出前所悬者以杜其意

C.吏民良猾,悉逆知其状/续乃坐使人于单席,举缊袍以示之

D.其小弱者,悉使负水灌火/遗言薄敛,不受赗遗

3.下列对原文有关内容的分析和概括,不正确的一项是( )

A.当初,羊续凭借忠臣子孙的身份被授予郎中;后因罹政治风波远离宦海十多年,其间,淡泊宁静,恬然自安。

B.羊续被任命为南阳太守后,在赴任途中,微服私访,询问风俗民情,了解各县情况。

C.羊续为政清廉,府丞曾向他贡献活鱼,羊续收下后却悬挂在庭院之中,府丞后来又向他献鱼,羊续便把先前悬挂的那些鱼拿给他,以告诫他以后不要再献。

D.中平六年,汉灵帝拟任命羊续为太尉,当时拜位三公的人都要向东园交纳礼钱上千万,灵帝命令宦官监督此事。但羊续终因清贫节俭而没能位登三公。

4.把下面的句子翻译成现代汉语。

(1)续发县中男子二十以上,皆持兵勒陈,其小弱者,悉使负水灌火。

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(2)续妻后与子秘俱往郡舍,续闭门不内,妻自将秘行。

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