问题
解答题
设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-
（1）求an和an-1的关系式； （2）写出用n和b表示an的表达式； （3）当0＜b＜1时，求极限
|
答案
(1)an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-
+1 (1+b)n 1 (1+b)n-1
=-b(an-an-1)+
(n≥2)b (1+b)n
解得an=
an-1+b 1+b
(n≥2)(1)b (1+b)n+1
(2)∵a1=S1=-ba1+1-
，∴a1=1 1+b
．(2)b (1+b)2
由（1）得
an=
[b 1+b
an-2+b 1+b
]+b (1+b)n b (1+b)n+1
=(
)2an-2+b 1+b b+b2 (1+b)n+1
=(
)2[b 1+b
an-3+b 1+b
]+b (1+b)n-1 b+b2 (1+b)n+1
=(
)3an-3+b 1+b b+b2+b3 (1+b)n+1
由此推得an=(
)n-1a1+b 1+b
(3)b+b2++bn-1 (1+b)n+1
将(2)代入(3)得an=b+b2++bn (1+b)n+1
∴an=
，b≠1b-bn+1 (1-b)(1+b)n+1
，b=1n 2n+1
(3)Sn=
•((-b)(b-bn+1) 1-b
)n+1+1-(1 1+b
)n，(b≠1)1 1+b
∵0＜b＜1时，
bn=0，lim n→∞
(lim n→∞
)n=01 1+b
∴当0＜b＜1时，
Sn=1．lim n→∞