问题
解答题
已知z7=1（z∈C且z≠1）．
（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；
（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．
答案
（1）由z（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）
=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7
=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，
得（z-1）（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）=0．（4分）
因为z≠1，z-1≠0，
所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（6分）
（2）因为z7=1．可知|z|=1，
所以z•
=1，而z7=1，所以z•z6=1，z6=. z
，同理. z
=z5，. z2
=z3，. z4
=z3+z5+z6. z+z2+z4
由（Ⅰ）知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，
即z+z2+z4+
=-1，. z+z2+z4
所以z+z2+z4的实部为-
，（8分）1 2
而z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，
所以cosα+cos2α+cos4α=-
．（12分）1 2