问题
解答题
已知函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值，
（Ⅱ）已知过点P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直线为l，则必存在x0∈（1，e），使曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线l平行，求x0的值，
（Ⅲ）已知函数g（x）图象在[0，1]上连续不断，且函数g（x）的导函数g'（x）在区间（0，1）内单调递减，若g（1）=0，试用上述结论证明：对于任意x∈（0，1），恒有g（x）＞g（0）（1-x）成立．
答案
（Ⅰ）f'（x）=
-a=1 x
（x＞0）1-ax x
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）不存在极值．
②若a＞0令f'（x）=0得x=
，1 a
当x∈(0，
)时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在此区间上单调递增；1 a
当x∈(
，+∞)时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在此区间上单调递减；1 a
∴f（x）极大值=f(
)=-lna-11 a
综上：当a≤0时，f（x）没有极大值，当a＞0时，f（x）极大值=-lna-1．
（Ⅱ）直线l的斜率k=
=-a+f(e)-f(1) e-1
，1 e-1
∵x0∈（1，e），
依题意有f'（x0）=-a+
即1 e-1
-a=-a+1 x0 1 e-1
得x0=e-1∈（1，e），
故x0=e-1
（Ⅲ）①f'（x0）=
或(f(b)-f(a) b-a
)f(a)-f(b) a-b
由以上结论得：对区间[0，x]存在x1∈[0，x]使g'（x1）=g(x)-g(0) x-0
同样对区间[x，1]存在x2∈[x，1]使g'（x2）=
=g(1)-g(x) 1-x -g(x) 1-x
依题意得：g'（x1）＞g'（x2）即
＞g(x)-g(0) x-0 -g(x) 1-x
化简得g（x）＞g（0）（1-x）成立．