由于双曲线x²-y²=1的条渐近线方程为y=±x，设切点坐标为（m，

1

3

m3+a），

∵y′=x²，

由函数y=

1

3

x3+a在切点处的导数等于切线斜率可得 m²=1，m=±1．

当 m=1，切点坐标为（1，

1

3

+a），代入条渐近线方程为y=x 可得 

1

3

+a=1，a=

2

3

．

当 m=-1，切点坐标为（-1，-

1

3

+a），代入条渐近线方程为y=x 可得-

1

3

+a=-1，a=-

2

3

．

故选D．