∵对任意n∈N*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+cⁿ=0的两根，

∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=cⁿ

∴

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

cn+1

cn

=c．

∵a₁=1，∴a₁•a₂=a₂=c．

∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，构成首项为1，公比为c的等比数列，

a₂，a₄，a₆，…，a_2n，构成首项为c，公比为c的等比数列．

又∵任意n∈N*，a_n+a_n+1=b_n恒成立．

∴

bn+2

bn

=

an+2+an+3

an+an+1

=c．又b₁=a₁+a₂=1+c，b₂=a₂+a₃=2c，

∴b₁，b₃，b₅，…，b_2n-1，构成首项为1+c，公比为c的等比数列，

b₂，b₄，b₆，…，b_2n，构成首项为2c，公比为c的等比数列，

∵0＜|c|＜1，

lim

n→∞

cⁿ=0

∴

lim

n→∞

（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=

lim

n→∞

（b₁+b₃+b₅+…）+

lim

n→∞

（b₂+b₄+…）

=

1+c

1-c

+

2c

1-c

≤3．

解得c≤

1

3

或c＞1．

∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤

1

3

或-1＜c＜0．

故c的取值范围是（-1，0）∪（0，

1

3

]．