问题
解答题
设an=
(1)证明不等式
(2)设bn=
|
答案
证:(1)由不等式k<
<k(k+1)
=k+(k+1) 2 2k+1 2
对所有正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,
得到1+2+3+…+n<an<
+3 2
+…+5 2 2n+1 2
又因1+2+3+…+n=
,以及n(n+1) 2
+3 2
+…+5 2
<2n+1 2
[1+3+5+…+(2n+1)]=1 2
,(n+1)2 2
因此不等式
<an<n(n+1) 2
.(n+1)2 2
对所有的正整数n都成立.
(2)由(1)及bn的定义知
<bn<1 2
=n+1 2n
+1 2
,于是|bn-1 2n
|=bn-1 2
<1 2 1 2n
对任意指定的正数ε,要使|bn-
|<ε,1 2
只要使
<ε,即只要使n>1 2n
.1 2ε
取N是
的整数部分,则数列bn的第N项以后所有的项都满足|bn-1 2ε
|<ε1 2
根据极限的定义,证得
bn=lim n→∞
.1 2