问题 解答题
an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
(n=1,2…)

(1)证明不等式
n(n+1)
2
an
(n+1)2
2
对所有的正整数n都成立;
(2)设bn=
an
n(n+1)
(n=1,2…)
,用定义证明
lim
n→∞
bn=
1
2
.
答案

证:(1)由不等式k<

k(k+1)
k+(k+1)
2
=
2k+1
2

对所有正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,

得到1+2+3+…+n<an

3
2
+
5
2
+…+
2n+1
2

又因1+2+3+…+n=

n(n+1)
2
,以及

3
2
+
5
2
+…+
2n+1
2
1
2
[1+3+5+…+(2n+1)]=
(n+1)2
2

因此不等式

n(n+1)
2
an
(n+1)2
2
.

对所有的正整数n都成立.

(2)由(1)及bn的定义知

1
2
bn
n+1
2n
=
1
2
+
1
2n
,于是|bn-
1
2
|=bn-
1
2
1
2n

对任意指定的正数ε,要使|bn-

1
2
|<ε,

只要使

1
2n
<ε,即只要使n>
1
.

取N是

1
的整数部分,则数列bn的第N项以后所有的项都满足|bn-
1
2
|<ε

根据极限的定义,证得

lim
n→∞
bn=
1
2
.

填空题
单项选择题