由S_n=a₁+a₂++a_n知

a_n=S_n-S_n-1（n≥2），

a₁=S₁，

由已知a_n=5S_n-3得

a_n-1=5S_n-1-3．

于是a_n-a_n-1

=5（S_n-S_n-1）

=5a_n，

所以a_n=-

1

4

a_n-1．

由a₁=5S₁-3，

得a₁=

3

4

．

所以，数列{a_n}是首项a₁=

3

4

，公比q=-

1

4

的等比数列．

由此知数列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1，

是首项为a₁=

3

4

，公比为(-

1

4

)2的等比数列．

∴

lim

n→∞

（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）=

3 4

1-(- 1 4 )2

=

4

5

．