问题
解答题
（附加题）（Ⅰ）过曲线y=x2（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为
（1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线l的方程； （3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． |
答案
（1）设点A的坐标为（a，a2），过点A的切线的斜率为k=y'|x=a=2a，
故过点A的切线l的方程为y-a2=2a（x-a），
即y=2ax-a2，令y=0，得x=
，a 2
则S△ABC=
•1 2
•a2=a 2
，S△ABO=a3 4
x2dx=∫ a0 x3 3
=| a0
，a3 3
∴S=S△ABO=S△ABC=
=a3 12 1 12
∴a=1
或S=
[∫ a20
a+1 2
-y 2a
]dy=(y
ay+1 2
-y2 4a
y2 3
)3 2
=a2 0
a3=1 12
，1 12
∴a=1
∴切点A的坐标为（1，1）（2）直线方程为y=2x-1
（3）l与x轴的交点为(
，0)，1 2
故V=π
x4dx-π∫ 10
(2x-1)2dx=∫ 1 1 2
πx51 5
-1 0
π(2x-1)31 6
=1 1 2
π1 30