（I）∵f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)

=

(x-1)2+(a+2)x

x-1

=x-1+

a+2

x-1

+a+2，

∵y=x+

a+2

x

，（a≠2）的图象有一个唯一的对称中心（0，0），

∴f（x）有唯一一个对称中心（1，a+2），

∵f（x）的对称中心是（b，1），∴a=-1，b=1．

故a=-1．

（II）∵a=-1，b=1，∴f（x）=

x2-x+1

x-1

．

∴f′(x)=

(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，

列表讨论：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	不存在	-	0	+
f（x）	↑	-1	↓	不存在	↓	3	↑

∴函数f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，1）和（1，2）．

（Ⅲ）由g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1），得

g′（x）=3x²-3c²=3（x²-c²），

当x₂∈[-1，0]时，g′（x₂）≤0，

∴g（x₂）∈[g（0），g（-1）]．即g（x₂）∈（-2c，-2c-1），

∵f（x）在[2，4]上是增区数，f（2）=3，f（4）=

13

3

，

∴f(x1)∈[3，

13

3

]．

∵任意x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，

∴-2c≤3＜

13

3

≤3c2-2c-1，其中c≤-1．

∴

-2c≤3 c≤-1 3c2-2c- 16 3 ≥0

，解得-

3

2

≤c≤

1- 17

3

．

故c的取值范围是[-

3

2

，

1- 17

3

]．