已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在两平行平面间的两条线段，A，C

问题证明题

已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在两平行平面间的两条线段，A，C在α内，B，C在β内，点E，F分别在AB，CD上，且AE：EB=CF：FD=m：n，求证：EF∥平面α．

答案

证明：分AB，CD是共面、异面两种情况讨论，

（1）当AB，CD共面时，如图（a），

∴AC∥BD，连接EF，

∵AE：EB=CF：FD，

∴EF∥AC∥BD且，，∴EF∥平面α。

（2）当AB，CD异面时，如图（b），

过点A作AH∥CD，交β于点H，在H上取点G，使AG：GH=m：n，

连接EF，由（1）证明可得GF∥HD，

又AG：GH=AE：EB，得EG∥BH，

∴平面EFG∥平面β∥平面α，

又EF面EFG，

∴EF∥平面α。