（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），

又f′（x）=2ae^x，∴f′（0）=2a，

函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），

又g′（x）=

1

x

，g′（2a）=

1

2a

由题意可知，2a=

1

2a

，即a²=

1

4

又a＞0，所以a=

1

2

…（3分）

不等式x-m＞

x

f(x)-

x

可化为m＜x-

x

f（x）+

x

即m＜x-

x

ex，令h（x）=x-

x

ex，则h′（x）=1-（

1

2 x

+

x

）e^x，

∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥

2

，

又x＞0时，e^x＞1，∴（

1

2 x

+

x

）e^x＞1，故h′（x）＜0

∴h（x）在（0，+∞）上是减函数

即h（x）在[1，5]上是减函数

因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，

只需m＜h（5）=5-

5

e5，

所以实数m的取值范围是（-∞，5-

5

e5）…（8分）

（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=

1

2

，

∴|f（x）-g（x）|=|e^x-lnx|

令q（x）=e^x-x-1，则q′（x）=e^x-1＞0，

∴q（x）在（0，+∞）上是增函数

故q（x）＞q（0）=0，即e^x-1＞x    …①

令m（x）=lnx-x+1，则m′（x）=

1

x

-1，

当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，

∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②

由①②得e^x-1＞lnx+1，即e^x-lnx＞2

又由①得e^x＞x+1＞x

由②得lnx＜x-1＜x，∴e^x＞lnx

∴|f（x）-g（x）|=e^x-lnx＞2

故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）