问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （2）是否存在实数a，使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∝），f（x）＞
|
答案
（1）a=2时，f（x）=
，x-2 lnx
f′（x）=
，f′（2）=xlnx-x+2 xln2x
，（2分）1 ln2
又f（2）=0
所以切线方程为y=
（x-2）（2分）1 ln2
（2）1°当0＜x＜1时，lnx＜0，则
＞x-a lnx
⇔a＞x-x
lnxx
令g（x）=x-
lnx，g′（x）=x
，2
-2-lnxx 2 x
再令h（x）=2
-2lnx，h′（x）=x
-1 x
=1 x
＜0
-1x x
当0＜x＜1时h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=
＞0，h(x) 2 x
所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1，
所以a≥1（5分）
2°x＞1时，lnx＞0，则
＞x-a lnx
⇔a＜x-x
lnx⇔＜g（x）x
由1°知当x＞1时h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上递增
当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′（x））=
＞0h(x) 2 x
所以g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1；（5分）
由1°及2°得：a=1．（1分）
