问题 解答题
已知z、ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=
z
2+i
,且|ω|=5
2
,求ω.
答案

设z=m+ni(m,n∈R),

因为(1+3i)z=(1+3i)(m+ni)=m-3n+(3m+n)i为纯虚数,

所以m-3n=0①,

ω=

z
2+i
=
m+ni
2+i
=
(2m+n)+(2n-m)i
5

由|ω|=5

2
,得
(2m+n)2
25
+
(2n-m)2
25
=(5
2
)2
,即m2+n2=250②

由①②解得

m=15
n=5
m=-15
n=-5

代入ω=

(2m+n)+(2n-m)i
5
可得,ω=±(7-i).

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