问题
解答题
函数f（x）=ax+ln（2-x）（x＜2），设曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线为l．
（1）若直线l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
答案
（1）f（x）=ax2+2㏑（2-x）．f（1）=a．故点（1，f（1））=（1，a）．
求导得：f′（x）=2ax-
，故f′（1）=2a-2．2 2-x
故切线l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0．
又由题设知，直线l到（-1，0）的距离为1
即有
=1．解得：a=1或a=|4-3a| (2a-2)2+1
；11 5
（2）f′（x）=2ax-
=2×2 2-x
，ax2-2ax+1 x-2
当a＜0 时，由导数小于0得，因为分子二次项的系数为负，
所以可得函数的单调增区间为(-∞，a-
)，(a+a2-1
，2)；a2-1
由导数大于0得减区间(a-
，a+a2-1
)，(2，+∞)a2-1
当0≤a≤1时，当x＜2时，f′（x）＜0恒成立，所以函数的单调减区间为 （-∞，2）
当
＞a＞1时，由导数小于0得，函数的单调减区间为(-∞，a-5 4
)，(a+a2-1
，2)；a2-1
由导数大于0得增区间(a-
，a+a2-1
)，(2，+∞)a2-1
当a≥
时，由导数小于0得，函数的单调减区间为(-∞，a-5 4
)，(2，a+a2-1
)；a2-1
由导数大于0得增区间(a-
，2)，(a+a2-1
+∞)a2-1