（Ⅰ）由f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，得：f^′（x）=a²x²-2ax．

当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x2+

2

3

，此时f^′（1）=-1，f(1)=

1

3

-1+

2

3

=0．

所以，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1×（x-1），即x+y-1=0；

（Ⅱ）由f^′（x）=a²x²-2ax=0得：x=0，或x=

2

a

，

当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，因为x∈（-1，1），

由f^′（x）＞0⇒-1＜x＜0或

2

a

＜x＜1．

由f^′（x）＜0⇒0＜x＜

2

a

．

所以f（x）在（-1，0]上递增，在（0，

2

a

]上递减，在(

2

a

，1)上递增．

故在（-1，1）上，f(x)极大值=f(0)=

2

3

，f(x)极小值=f(

2

a

)=

2a-4

3a

．

当

2

a

≥1，即0＜a≤2时，f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上递减

故在（-1，1）上，f(x)极大值=f(0)=

2

3

，无极小值；

（Ⅲ）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

，x∈[-

1

2

，

1

2

]．

则F^′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）．

因为x∈[-

1

2

，

1

2

]，a＞0，所以F^′（x）＞0．

故F（x）在区间[-

1

2

，

1

2

]上为增函数．

所以F(x)max=F(

1

2

)，

若在区间[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，所以需F（x）_max≥0．

即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

≥0，

所以a²+6a-8≥0．

解得：a≤-3-

17

或a≥-3+

17

．

因为a＞0，所以a的取值范围是[-3+

17

，+∞）．