问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）求a，b的值； （II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜
|
答案
（Ⅰ）∵f(x)=
，∴f′(x)=a+blnx x+1
(x+1)-(a+blnx)b x (x+1)2
∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1
∴有
，∴
=1a 2
=-12b-a 4 a=2 b=-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=
(x＞0)2-lnx x+1
由f(x)＜
及x＞0，可得m x
＜m2x-xlnx x+1
令g(x)=
，∴g(x)=2x-xlnx x+1
=(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx) (x+1)2 1-x-lnx (x+1)2
令h（x）=1-x-lnx，∴h′(x)=-1-
＜0(x＞0)，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，1 x
故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1
要使
＜m成立，只需m＞12x-xlnx x+1
故m的取值范围是（1，+∞）．