问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．
答案
（1）由题意得f'（x）=3x2+2ax-（2a+3），所以f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，解得a=-
.4分1 2
（2）函数的导数f'（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0，得x=1或x=-
，因为f（x）在区间（1，+∞）上不单调，2a+3 3
所以-
＞1，故a＜-3．2a+3 3
（3）因为f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．所以当x∈[-1，1]时，f（x）min＞0，
①当-
≥1即时，a≤-3时，函数f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，2a+3 3
所以fmin(x)=f(-1)=a2+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2．
故a≤-3 11分
②当-1＜-
＜1，即-3＜a＜0时，2a+3 3
函数f（x）在[-1，-
]上为增函数，在[-2a+3 3
，1]上为减函数2a+3 3
所以fmin（x）=min{f（-1），f（1）}，
故
，所以a＞2或a＜-2，f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0
所以-3＜a＜-2 13分
③当-
≤-1即a≥0，函数f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，2a+3 3
所以fmin(x)=f(1)=a2-a-2＞0
所以a＞2或a＜-1，
故a＞2
综上所述，实数a得取值范围为a＞2或a＜-2． 15分