（1）∵函数f（x）过点（-1，2），∴f（-1）=-a+b-c=2，①

由f′（x）=3ax²+2bx+c，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+2=0

∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，∴

a+b+c=-2 3a+2b+c=0

，②

由①和②解得

a=1 b=0 c=-3

，故f（x）=x³-3x；

（2）当a=1时，f（x）=x³+bx²+cx，∴f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c

可得：c=

f(1)-f(-1)

2

-1，b=

f(1)+f(-1)

2

∴f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6

又由题意-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，∴-3≤3f（1）≤9，

故1≤3f（1）+f（-1）+6≤16，

即1≤f（2）≤16．

（3）∵f′（x）=3ax²+2bx+c，则

f′(0)=c f′(-1)=3a-2b+c f′(1)=3a+2b+c

，可得6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）

∵当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，∴|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1

∴6|a|=|f′（-1）+f′（1）-2f′（0）|≤|f′（-1）+f′（1）+2f′（0）|≤4

∴a≤

2

3

，故a的最大值

2

3

，

当a=

2

3

时，

|f′(0)|=|c|=1 |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 |f′(1)|=|2+2b+c|=1

，解得

b=0 c=-1

，

∴a取得最大值时f（x）=

2

3

x³-x．