问题
解答题
已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e．
答案
（Ⅰ）f'（x）=aex+（ax-2）ex=（ax+a-2）ex，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）ex取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）ex，f'（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex．
| x | （-∞，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 减 | 增 |
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m-2）em．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)=(m-2)em， m≥1 -e， 0＜m＜1 (m-1)em+1， m≤0
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）ex，f'（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex．
令f'（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以fmax（x）=0，fmin（x）=-e，
所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）=e，