已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e2-x在x=1处取得极值，且在点（2，f

问题解答题

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^2-x在x=1处取得极值，且在点（2，f（2））处的切线方程为6x+y-27=0．

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调区间，并指出f（x）在x=1处的极值是极大值还是极小值．

答案

（1）f′（x）=（2ax+b）e^2-x+（ax²+bx+c）e^2-x（-1）=[-ax²+（2a-b）x+（b-c）]e^2-x，…（4分）

由题意，

f′(1)=0

f′(2)=-6

f(2)=15

，即

[-a+(2a-b)+(b-c)]e1=0

[-4a+2(2a-b)+(b-c)]e0=-6

(4a+2b+c)e0=15

，

∴a=c=1，b=5；…（8分）

（2）由（1）知，f（x）=（x²+5x+1）e^2-x，∴f′（x）=（-x²-3x+4）e^2-x=-（x+4）（x-1）e^2-x，…（10分）

令f′（x）＞0，得-4＜x＜1，f′（x）＜0，得x＜-4或x＞1，

∴函数f（x）的单调递增区间为（-4，1），单调递减区间为（-∞，-4）和（1，+∞）．…（13分）

由此可知，f（x）在x=1处的取值是极大值．…（14分）