（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数f′(x)=

令f′（x）=0得x=e^1-a，

当x∈（0，e^1-a）时，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数；

当x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是减函数；

∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1，无极小值．

（Ⅱ）①当e^1-a＜e²，即a＞-1时，

由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²）上是减函数，

∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1…（7分）

∵若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，

∴e^a-1≥1

∴a≥1

∵a＞-1，∴a≥1

②当e^1-a≥e²，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e²]上是增函数，

∴f（x）在区间（0，e²]上的最大值为f（e²）=

∴原问题等价于

∴a≥e²-2

∵a≤-1，∴无解

综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．

（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，

∵a₁=1，假设ak≥1(k∈N*)，则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故an≥1(n∈N*)

从而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1

∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)

即1+an≤2n，

∴an≤2n-1．