问题
解答题
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′(x)=
-a ax+1
=2 (1+x)2
，ax2+a-2 (ax+1)(1+x)2
∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0
即 a+a-2=0，解得 a=1
（Ⅱ）f′(x)=
，ax2+a-2 (ax+1)(1+x)2
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得x＞2-a a
由f′(x)＜0解得x＜2-a a
∴f（x）的单调减区间为(0，
)，单调增区间为(2-a a
，+∞)2-a a
（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1
当0＜a＜2时，由（II）②知，f(x)在x=
处取得最小值f(2-a a
)＜f(0)=1，2-a a
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）