由题意（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值，可知直线与曲线上的两点的距离的平方，

函数y₁=sin（2x₁）+

1

2

（x₁∈[0，π]），

y₁′=2cos（2x₁），x₁∈[0，π]，

2cos（2x₁）=1，解得x₁=

π

6

．此时y₁=

3 +1

2

．

点（

π

6

，

3 +1

2

）到直线y₂=x₂+3的距离的平方为：(

| π 6 - 3 +1 2 +3|

2

)2=

(π-3 3 +15)2

72

．

故选：D．