（1）∵f′（x）=[x²+（6+2）x+b]e^x，

又x=0是函数f（x）=（x²+bx）e^x的一个极值点，

∴f′（x）=0，得b=0，故f（x）=x²e^x（2分）

（2）∵不等式f（x）＞ax³在[，2]内有解，即x²e^x＞ax³在[，2]内有解，

∴a＜

ex

x

在[，2]内有解，令g（x）=

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，

则只要a＜（g（x））_max．（3分）

∵g′（x）=

xex-e2

x2

=

ex(x-1)

x2

，

∴g（1）=e是该函数的最小值；

∵g（

1

2

）=2

e

，g（2）=

1

2

ex，g（2）＞g（

1

2

），

∴a的取值范围为（-∞，

1

2

e2）（5分）

（3）∵f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x

∴函数y=f（x）在x=a_n处的切线方程为y-

a

2n

ean=(

a

2n

+2an)ean(x-an)

∵切线与x轴的交点为（a_n-a_n+1，0），

∴0-

a

2n

ean=(

a

2n

+2an)ean[(an-an+1)-an]

化简得a_n=a_na_n+1+2a_n+1．（7分）

∵a₁=1，b_n=

1

an

+2，∴b₁=3，

1

an

=b_n-2

∴b_n+1-2=1+2b_n，整理得b_n+1=2b_n-1，

即b_n+1-1=2（b_n-1），∴{b_n-1}是公比为2，首项为2的等比数列，

∴b_n-1=（b₁-1）2^n-1，即b_n=2ⁿ+1．（9分）

假设存在等差数列{c_n}对n∈N^*都有b₁c₁+b₂c₂++b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2①

当n≥2时有b₁c₁+b₂c₂++b_n-1c_n-1=2ⁿ（2n-3）+n²+1②

①-②得b_nc_n=2ⁿ（2n+1）+2n+1，即（2ⁿ+1）c_n=2ⁿ（2n+1）+2n+1，

∴当n≥时有，c_n=2n+1，

当n=1时，b₁c₁=9，而b₁=3，∴c₁=3也适合c_n=2n+1．

故{c_n}是首项为1，公差为2的等差数列．

即存在等差数列{c_n}对n∈N^*都有

b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2．（13分）